1-Açıortayın parçaladığı uzunluklar komşu kenarlarla orantılıdır
 |
İspatı
- B noktasından geçen b kenarına bir paralel çizelim ve açıortayla kesiştiği yer E olsun.
- İç ters açılar oldukları için m(CAE)=m(AEB) ve m(ACB)=m(CBE)
- ABE üçgeni ikizkenar dolayısıyla, |BE|=a
- EBD üçgeni ACD ile benzer
- Benzerlik ilgisi, c/d=a/b
2-Açıortay uzunluğu
Açıortay uzunluğu x olmak üzere
İspatı
Üçgenin çevrel çemberini çizip açıortay çembere değinceye kadar uzatalım. Değdiği nokta D olsun.
- Aynı yayları gördükleri için m(ABC)=m(ADC) olur.
- ABE üçgeni ADC ile benzerdir, açılar aynı olduğu için.
- Benzerlik ilgisini yazalım: x/b=a/(x+y) (1)
- Çemberde kesişen kirişler arasındaki bağıntıdan faydalanarak şunu yazabiliriz: xy=cd (2)
- 2 numaralı denklemde y yi çekelim: y=cd/x
- 1 numaralıda yerine koyarsak ve işlem yaparsak x^2=ab-cd sonucunu elde ederiz.
