İç Açıortay Teoreminin İspatı

Üçgende iç açıortay teoremi iki kısımdan oluşmakta, birincisi açıortayın parçaladığı kenarın uzunluğuyla ilgili, ikincisi açıortay uzunluğunu veren ifade.

1-Açıortayın parçaladığı uzunluklar komşu kenarlarla orantılıdır

İspatı

• B noktasından geçen b kenarına bir paralel çizelim ve açıortayla kesiştiği yer E olsun.
• İç ters açılar oldukları için m(CAE)=m(AEB)  ve  m(ACB)=m(CBE)
• ABE üçgeni ikizkenar dolayısıyla, |BE|=a
• EBD üçgeni ACD ile benzer
• Benzerlik ilgisi, c/d=a/b

2-Açıortay uzunluğu

Açıortay uzunluğu x olmak üzere 

x^2=ab-cd

İspatı

Üçgenin çevrel çemberini çizip açıortay çembere değinceye kadar uzatalım. Değdiği nokta D olsun.

• Aynı yayları gördükleri için m(ABC)=m(ADC) olur.
• ABE üçgeni ADC ile benzerdir, açılar aynı olduğu için.
• Benzerlik ilgisini yazalım: x/b=a/(x+y)   (1)
• Çemberde kesişen kirişler arasındaki bağıntıdan faydalanarak şunu yazabiliriz: xy=cd  (2)
• 2 numaralı denklemde y yi çekelim: y=cd/x
• 1 numaralıda yerine koyarsak ve işlem yaparsak x^2=ab-cd sonucunu elde ederiz.

Kaynakça

• Angle Bisector Theorem